SIR model

Veel epidemiologisch onderzoek naar het verloop van besmettingen wordt gedaan aan de hand van zogeheten SIR-modellen. Het basis model van Kermack–McKendrick stamt al uit 1927. In de meest eenvoudige vorm bestaat het model uit een stelsel van 3 differentiaalvergelijkingen die bij een epidemische besmetting de overgang beschrijven van de groep van niet besmette maar besmetbare individuen (S= susceptible) naar de groep van besmette en besmettelijke individuen (I= invected) en vervolgens naar de groep van genezen (en hopelijk immune) individuen (R=recovered) (zie ook de Ridder, 2020). Dit type modellen laat zich in verschillende richtingen uitbreiden, waarbij zowel meerdere groepen kunnen worden onderscheiden als de relaties die de overgangen tussen groepen beschrijven met verschillende determinanten kunnen worden aangevuld. Recentelijk is bij de coronabesmetting al een groot aantal papers verschenen waarbij op verschillende manieren het beleid van contactbeperking (lockdown) en sociale onthouding (social distancing), en de gevolgen daarvan voor de economie, in een SIR-model zijn ingebouwd. Daarmee komt de afweging tussen schade voor de gezondheid en schade voor de economie van de bestrijding van het virus in beeld. Voorbeelden zijn Acemoglu et al. (2020) op basis van differentiaalvergelijkingen (continue tijd), en Brotherhood et al. (2020) op basis van differentievergelijkingen (discrete tijd). In deze beide papers wordt uitvoerig verwezen naar de andere studies die in de periode maart-mei 2020 zijn verschenen. In deze bijdrage schets ik een prototype van een economisch stromenmodel voor de besmetting met differentievergelijkingen omdat deze het beste aansluit op de traditionele manier van economische beleidsanalyse met empirische modellen. 

Stromenbenadering

Aangrijpingspunt daarbij vormt de stromen benadering van de arbeidsmarkt waarin, net als in de SIR modellen, overgangen worden beschreven tussen verschillende groepen, zoals bijvoorbeeld tussen werkend en werkloos en tussen non-participatie en werkend. Aan het eind van de jaren 1990 hebben arbeidseconomen aan de VU ervaring opgedaan met het gebruik van deze stromenmodellen voor beleidssimulaties; zie bijvoorbeeld Den Butter en Van Ours (1993), Den Butter (1995), hoofdstuk 6 in Gautier (1997) en hoofdstuk 5 in Kock (2002). Fricties op de arbeidsmarkt, en daarmee beleidsinstrumenten om die fricties zo klein mogelijk te maken, vervullen een centrale rol in deze stromenbenadering (zie bijvoorbeeld Mortensen en Pissarides, 1994). Mortensen en Pissarides hebben samen met Diamond in 2010 de Nobelprijs in de economie voor dit gedachtegoed gekregen. De modellering in differentievergelijkingen maakt het mogelijk om expliciet met vertragingseffecten rekening te houden, zoals bij verschillen in reactie op kortdurende en langdurende werkloosheid. Ook kan een modelsimulatie vanuit een bepaalde uitgangssituatie worden uitgevoerd zodat de gevolgen van beleidswijzigingen direct vanuit die uitgangsituatie in beeld worden gebracht.

Stromenmodel voor besmetting

Het schema toont een eenvoudig SIR model, gespecificeerd naar analogie van zo’n stromen (stock-flow) model van de arbeidsmarkt. Naast de 3 groepen uit het oorspronkelijke model is ook een vierde groep opgenomen, namelijk van de personen die overleden zijn. In de corona pandemie vormt dat een cruciale grootheid  in de afweging tussen gezondheid en economie.

Schema Stromenmodel

In dit model gelden de volgende voorraad-stroom (stock-flow) vergelijkingen

Deze differentievergelijkingen vormen het analogon van de differentiaalvergelijkingen in het SIR model in de continue tijdsbenadering.

Besmettingsfunctie

Voor het beleid om de besmetting en daarmee de pandemie onder controle te houden is de mate waarin niet besmette en besmetbare personen en besmet raken, Fs,i_t , cruciaal. Deze ‘besmettingsfunctie’, vormt het tegenbeeld van wat in het stromenmodel van de arbeidsmarkt de ‘koppelfunctie’ ofwel de ‘matchingfunctie’ is.  Deze functie, eigenlijk een soort productiefunctie, geeft aan hoe het proces van koppelingen van werkzoekenden aan banen (in de empirie meestal via vacatures) verloopt. Van Ours (1991) heeft indertijd zo’n koppelfunctie voor Nederland geschat (zie Petrongolo en Pissarides, 2001 voor een overzicht). Het beleid is er op gericht de ‘productie’ van deze koppelingen zo efficiënt mogelijk te laten verlopen zodat de fricties op de arbeidsmarkt zo klein mogelijk zijn. Bij de ‘productie’ van het aantal besmettingen heeft het beleid precies het tegenovergestelde doel, namelijk om de ‘productie’ van de nieuwe besmettingen zo laag mogelijk te laten zijn. In gestileerde vorm kan dit door de volgende functie worden weergegeven:

Fs,i_t  = (1/c_m) (π₁S_t)^α (π₂I_t)^ꞵ

Hierbij is c_m de mate waarin besmetting wordt voorkomen, π₁ een schaalfactor voor het besmettelijke deel van de populatie (bijvoorbeeld afhankelijk van de mate waarin extra contactbeperkingen voor het meest besmetbare deel van de populatie gelden, en/of van de verhouding tussen S en R, om de invloed van de mate van groepsimmuniteit in het model in te bouwen) en π₂ een schaalfactor voor het besmette en besmettelijke deel van de populatie (bijvoorbeeld afhankelijk van de mate waarin quarantaine gehandhaafd wordt en van de mate waarin besmettelijkheid niet wordt opgemerkt vanwege de incubatieperiode, of onvolledig testen). De functie is als productiefunctie gespecificeerd waarbij in geval van een Cobb Douglas productiefunctie ꞵ= 1-α zodat er sprake is van ‘constante schaalopbrengsten’. In empirisch arbeidsmarktonderzoek van de koppelfunctie is dat een gebruikelijke veronderstelling maar in geval van de besmettingsfunctie is dit niet vanzelfsprekend. Zo laten Acemoglu et al. (2020) in een variantenanalyse zien dat ‘toenemende meeropbrengsten’ in het besmettingsproces belangrijke implicaties voor uitkomsten van het model hebben. Nader empirisch onderzoek hierover, en over de waarden van de parameters in de functie, is nodig om meer duidelijkheid te verkrijgen. Evident is dat c_m de cruciale beleidsvariabele in dit model is. Naarmate het beleid meer efficiënt is in de bestrijding van de besmetting zijn de kosten voor de economie hoger. Verschillende beleidsopties t.a.v. contactbeperkingen en sociale onthouding, en versoepelingen daarvan, kunnen via deze beleidsvariabele worden ingebouwd. Zo splitsen Acemoglu et al. (2020) de populatie in drie groepen, jong, middelbaar en oud, waarbij de maatregelen voor ouderen, met een grotere kans op ernstige ziekte en zelfs overlijden, strenger zijn dan voor de anderen. Dat verlaagt de kosten voor de economie zonder veel in te leveren op de ‘kosten’ van gezondheid (zie ook Fransman et al., 2020). Brotherhood et al. (2020) bouwen deze verschillen in besmettelijkheid van leeftijdsgroepen in door te rekenen met eigen preferenties van een groep jongeren en een groep ouderen waarbij jongeren zich (vanuit hun rationaliteit) minder goed aan de beperkende maatregelen houden dan ouderen. Daarbij maken zij onderscheid tussen degenen die weten dat ze besmet zijn en degenen die dat alleen maar vermoeden. Op deze wijze zijn de gevolgen van een uitgebreid testbeleid in het model in te bouwen.

Uitstroom

In het eenvoudige model uit het schema zijn er nog twee andere stroomgrootheden te bepalen. Hierin kan, net als in de besmettingsfunctie, de invloed van beleid worden ingebouwd. De eerste functie betreft het aantal overledenen in periode t:

Hierbij representeert  γ de mate waarin besmette en zieke corona patiënten overlijden, en c_q is een instrumentele factor die aangeeft in welke mate overlijden wordt tegengegaan, bijvoorbeeld in het geval dat er een medicijn beschikbaar is, of via verbeterde kennis over hoe overlijden door corona voorkomen kan worden. De term tussen haakjes geeft aan de verdeling van de ziekteduur voordat patiënten overlijden. Deze inbouw via een verdeelde vertraging illustreert het voordeel om in discrete tijd met tijdreeksmodellen te werken. Daarbij is er de mogelijkheid bij voortschrijdende inzichten over ziektebestrijding de waarde van de ζ parameters te wijzigen.

De tweede functie betreft het aantal genezen personen in periode t:

Hierbij is κ de mate waarin besmette en zieke corona patiënten genezen, en c_r een instrumentele factor die aangeeft in welke zin het genezen bevorderd wordt, bijvoorbeeld in het geval dat er een medicijn beschikbaar is, of via verbeterde kennis over hoe corona valt te genezen. De term tussen haakjes geeft de verdeling aan van de ziekteduur voordat patiënten genezen. Acemoglu et al. (2020) en Brotherhood et al. (2020) onderscheiden tussen genezen en overlijden nog de groep patiënten die intensieve medische zorg nodig heeft, en van daaruit ofwel overlijden dan wel genezen. Vanuit de Nederlandse situatie is uitbreiding met deze groep evenzeer relevant aangezien beschikbare intensive care capaciteit een randvoorwaarde vormt voor het coronabeleid. 

Op deze manier zijn de economische kosten van de contactbeperkingen, en van gedifferentieerd beleid voor verschillende groepen, in het model in te bouwen.

In deze versie van het model is verondersteld dat alle genezen patiënten niet langer besmettelijk en wel immuun zijn. Indien dit niet zo blijkt te zijn, dient het model te worden uitgebreid, bijvoorbeeld met een terugkoppeling naar de besmettingsfunctie voor de genezen personen die toch nog besmettelijk zijn, en met een terugstroom (met een ingebouwde vertraging) naar het bestand S voor degenen die na een tijdje niet meer immuun zijn. Wanneer er een vaccin beschikbaar is, zal toevoeging aan het model van de groep gevaccineerden (zeg V) nodig zijn met een directe stroom van S naar V, en een terugstroom van V naar S voor zover vaccinatie slechts tijdelijke bescherming biedt. Deze verschillende manieren om de uitstroomvergelijkingen te specificeren laten ook zien dat dit stromenmodel onderscheid kan maken tussen de gevolgen voor het verloop van de besmetting bij toepassing van een medicijn of van vaccinatie. Anders gezegd: beschikbaarheid van een medicijn vraagt om een ander beleid dan beschikbaarheid van een vaccin.

Modelkalibratie en -gebruik

Om simulaties met het model uit te kunnen voeren is het nodig numerieke waarden voor de parameters van het model te bepalen. Het oogmerk van deze modelkalibratie is dat het waargenomen verloop van de besmetting door het model zo goed mogelijk wordt gereproduceerd.  Voor een Nederlandse versie van het model ligt het daarbij voor de hand zoveel mogelijk de feitelijke omvang van de verschillende groepen personen en van de stromen daartussen als richtpunt te nemen. Dit sluit aan op de werkwijze bij de stromenmodellen van de arbeidsmarkt en maakt het mogelijk een direct verband te leggen met de feitelijke ontwikkeling. Zo kan bij een verandering van het beleid, bijvoorbeeld een versoepeling, of een toespitsing op bepaalde groepen of contacten, de analyse van de beleidsverandering worden geënt op de omvang van de groepen bij aanvang van de beleidswijziging. In de modellen van Acemoglu et al,. en van Brotherhood et al. bestaat die mogelijkheid niet. Hier zijn niet de totalen per groep maar het aandeel van de groepen in de totale bevolking de voorraad grootheden in het model. De invloed van verschillende beleidsopties wordt daarbij afgelezen aan het verschil tussen een basis beleidsprojectie en een projectie met een andere vorm van beleid. Zo laten Acemoglu et al. bijvoorbeeld zien dat bij gelijke economische kosten, een daling van 24,3% bnp, beleid dat op verschillende groepen gericht is de sterftegraad doet afnemen van 1,83% naar 0,71% ten opzichte van een uniform beleid. Hiermee worden 2,7 miljoen levens gespaard.

Het model kan aangeven hoe toenemende kennis over de virusbesmetting tot veranderingen in het beleid kan leiden, en wat de beleidsreactie op de beschikbaarheid van een medicijn dan wel van een vaccin zou moeten zijn.  

De kalibratie van medische parameters gebeurt in deze SIR modellen voornamelijk op basis van Amerikaanse gegevens over de karakteristieken van het coronavirus. Voortschrijdend inzicht over deze karakteristieken kan dan eenvoudig in het model worden verwerkt hetgeen aanleiding zal geven voor een nieuwe kalibratie, en daarmee ook voor een wijziging van de verschillende beleidseffecten. Bij Brotherhood et al. (2020) zijn de economische gedragsparameters ontleend aan veronderstellingen over de mate waarin de beide leeftijdsgroepen geneigd zijn zich aan de beperkende maatregelen te houden gezien hun inschatting van de kans op overlijden en hun voorkeur niet in beperking te leven.

In termen van het prototype model uit het schema dient bij kalibratie, en bij inbouw van het specifieke beleid ten aanzien van contactbeperking, versoepeling daarvan en toespitsen op bepaalde groepen, veel aandacht aan de factor c_m te worden besteed. De mate waarin besmetting tegen zo laag mogelijke economische kosten valt in te dammen, is essentieel voor de werking van het model, en voor de impliciete afruil tussen gezondheid en economie.

Besluit

De stromenbenadering van de arbeidsmarkt biedt een goed uitgangspunt voor de opzet van een dynamisch stromenmodel dat laat zien hoe de gewenste bestrijding van het coronavirus vanuit het economisch perspectief zo efficiënt mogelijk kan plaatsvinden. Het betekent een aanvulling van de epidemiologische SIR modellen met economische elementen. Deze bijdrage schets een prototype van zo’n stromenmodel waarbij de mogelijke invulling wordt geïllustreerd aan de hand van twee modellen die recentelijk zijn gepubliceerd. Het oogmerk is het model toe te spitsen op de Nederlandse situatie waarbij de gevolgen van de contact beperkende maatregelen, maar ook van de versoepeling van die maatregelen op de voet kunnen worden gevolgd.  De besmettingsfunctie, die aangeeft hoe besmetting kan toenemen door ontmoeting (koppeling: ‘matching’) van besmetbare en besmette personen, staat centraal in dit model. Waar op de arbeidsmarkt het beleid er op gericht is fricties bij zo’n koppeling tussen werkzoekenden en banen zo klein mogelijk te maken, dienen die beperkende ‘fricties’ in het besmettingsmodel juist zo groot mogelijk te zijn om besmetting tegen te gaan. Op deze manier zijn de economische kosten van de contactbeperkingen, en van gedifferentieerd beleid voor verschillende groepen, in het model in te bouwen. Deze kosten kunnen worden afgewogen tegen de gezondheidskosten. Bovendien kan het model aangeven hoe toenemende kennis over de virusbesmetting tot veranderingen in het beleid kan leiden, en wat de beleidsreactie op de beschikbaarheid van een medicijn dan wel van een vaccin zou moeten zijn.  

Referenties

Acemoglu, D., V. Chernozhukov, I. Werning en M. Whinston, 2020, A multi-risk SIR model with optimally targeted lockdown, NBER Working Paper No. 27102, May 2020

Brotherhood, L., Ph. Kircher, C. Santos en M. Tertilt, 2020, An economic model of the COVID-19 epidemic: the importance of testing and age-specific policies, IZA Discussion Paper No. 13265

Butter, F.A.G. den, 1995, Labour participation and labour market dynamics in an empirical flow model with heterogeneous unemployment, VU Research Memorandum, 1995-22, 18 blz.

Butter, F.A.G. den, en J.C. van Ours, 1993, The effects of supply and demand policies in a stock-flow model for the Dutch labour market, Tinbergen Institute Discussion Paper, TI 93-45.

Fransman, R., X. Koolman, E.J. Vlieger en A. Sipkema, 2020, De 60min-economie leidt tot betere resultaten dan de anderhalvemetereconomie, ESB Blog, 27 mei 2020.

Gautier, P., 1997, The Flow Approach to the Labour Market, Tinbergen Institute Research Series, no. 160,Thesis Publishers, Amsterdam.

Kock, U., 2002, Social Benefits and the Flow Approach to the Labour Market, Tinbergen Institute Research Series, no. 261,Thela Thesis, Amsterdam.

Mortensen, D.T. en C.A. Pissarides, 1994, Job creation and job destruction in the theory of unemployment,  The Review of Economic Studies ,61 (3), blz. 397-415.

Ours, J.C. van, 1991, The efficiency of the Dutch labour market in matching unemployment and vacancies, De Economist, 139, blz. 358-378.

Petrongolo, B., en C. A. Pissarides, 2001, Looking into the black box: a survey of the matching function, Journal of Economic Literature, 39 (2), blz. 390-431.

Ridder, P. de, 2020, Economie in de ban door corona, Me Judice, 11 mei 2020.